Расчёт объёмов для топлива в крыле

Общая постановка задачи
Исходные данные
Описание расчётной схемы
Дополнительные требования к методике решения
Методика решения
Предварительные расчёты
Основной расчёт

Общая постановка задачи

Нам требуется найти объём топлива в крылевых баках в зависимости от площади крыла.
Форма крыла в плане и его относительные параметры заданы в двух вариантах:

трапециевидное крыло без наплыва,
трапециевидное крыло с наплывом

Для каждого варианта заданы геометрические характеристики, приведённые в разделе "Исходные данные".
Принципы размещения топлива в крыле и принятые предположения о геометрии бака - силового кессона даны в разделе "Описание расчётной схемы".

Исходные данные

1 - Трапециевидное крыло без наплыва:

Рисунок

2 - Трапециевидное крыло с наплывом:

Рисунок

Профиль крыла в обоих вариантах постоянный, а его относительная толщина меняется линейно от относительная толщина профиля у корня крыла

у корня до относительная толщина профиля на конце крыла

на конце. V-образность крыла мала и ей можно пренебречь.
Примечание: здесь и далее применены сокращения индексов, указывающих на положение сечения крыла. Индекс 0 соответствует корню крыла (плоскость симметрии самолёта), 1 - сечение по бортовой нервюре (границе крыла и фюзеляжа), Н - сечение по границе наплыва, K - сечение на конце крыла. Таким образом,
эквивалентность индексов сечений крыла

и т.д.

Описание расчётной схемы

Топливо в крыле размещается в баках, представляющих собой герметизированный внутренний объём силового кессона крыла. При этом на каждом полукрыле топливом занят участок кессона от оси самолёта до определённой части полуразмаха. Дальше до концевой нервюры в кессоне располагаются дренажные баки (неучитываемые в данном случае) и незанятое пространство. Для крыла с наплывом, при этом, считаем, что топливные баки занимают часть размаха большую чем размах участков, имеющих наплыв, то есть, кессон на участках наплыва занят топливными баками полностью.
Объём топлива будет равен объёму силового кессона на участках расположения баков, умноженному на коэффициент заполнения коэффициент заполнения объёма кессона топливом

. Коэффициент учитывает что часть объёма занята силовыми элементами кессона, а также пенополиуретановой губкой для защиты от взрыва при простреле. Значение коэффициент заполнения объёма кессона топливом

принимаем константой (значение в диапазоне 0,7..0,85), таким образом, остаётся найти объём кессона.
В нашем случае принимаются следующие предположения о геометрии кессона:

1) кессон состоит из центральной части (центроплана), находящейся между левой и правой бортовыми нервюрами, и консольных участков.
геометрия кессона, 1

2) на участках консолей объём кессона ограничивается сверху и снизу обшивкой крыла, а спереди и сзади соответственно передним и задним лонжероном (стенкою).

геометрия кессона, 2

3) Заданная геометрия крыльев такова, что их консоли можно представить в виде фрагментов трапециевидной формы в плане, на которых передняя и задняя кромки крыла - прямые. Для крыла без наплыва каждая консоль будет состоять из одного такого фрагмента, ограниченного с одной стороны бортовой нервюрой (хорда бортовая хорда крыла

), а с другой - концевой (хорда концевая хорда крыла

). А у крыла с наплывом консоль состоит из двух фрагментов: первый ограничен бортовой нервюрой ( бортовая хорда крыла

) и хордой в месте окончания наплыва ( хорда крыла на границе наплыва

), а второй - хордой хорда крыла на границе наплыва

и концевой нервюрой ( концевая хорда крыла

).
Принимаем, что на каждом из таких фрагментов лонжероны (стенки) кессона также имеют прямолинейную форму в плане. геометрия кессона, 3

4) В соответствии с предыдущим предположением, на консолях прямые участки лонжеронов идут от одной хорды, ограничивающей фрагмент, до другой. Расстояние от начала хорды до точки её пересечения с лонжероном составляет определённую часть длины этой хорды. Можно представить такую часть как b_i * Kx_i_jл

, где

- длина i-ой хорды,
Kx_i_jл

- коэффициент, имеющий значение в диапазоне 0..1, определяющий отношение расстояния от носка i-ой хорды до точки её пересечения с j-м лонжероном к длине i-ой хорды b_i

.
Обозначим значения коэффициентов Kx_i_jл

для переднего и заднего лонжеронов кессона как Kx_i_pл

соответственно.
Тогда для дальнейших расчётов примем, что для всех хорд, ограничивающих фрагменты консолей, коэффициенты Kx_i_pл

одинаковы. Это означает, что точки пересечения с передним лонжероном делят длины всех граничных хорд на части с одним и тем же соотношением. Аналогичное предположение делаем и относительно заднего лонжерона кессона. Таким образом, равенство всех Kx_i_пл

. Аналогично, равенство всех Kx_i_зл

5) Центроплан ограничен спереди и сзади лонжеронами (стенками), а сверху и снизу - обшивкой. Лонжероны центроплана - прямолинейные, они расположены перпендикулярно оси самолёта от одной бортовой нервюры до другой и соединяют между собой соответствующие лонжероны левой и правой консолей.
Аналогично, обшивка центроплана соединяет обшивку кессонов левой и правой консолей. Поверхность обшивки образована движением прямой линии, перпендикулярной оси самолёта. Таким образом, центроплан представляет собой цилиндическое тело, основание которого совпадает с сечением кессона консолей по бортовым нервюрам, а образующая перпендикулярна оси самолёта. При этом образующая оказывается перпендикулярна и основаниям, то есть, центроплан является прямым цилиндром.
геометрия кессона, 5a

На рисунке ниже схематично показан вид в плане основных частей крыла и размещение топлива с учётом указанных выше предположений о геометрии силового кессона.

форма кессона и размещение топлива (крыло без наплыва)

форма кессона и размещение топлива (крыло без наплыва)

форма кессона и размещение топлива (крыло с наплывом)

Дополнительные требования к методике решения

Если для расчётов будет недостаточно значений, выводимых из исходных данных, то считаем допустимым вводить дополнительные параметры с тем условием, что они будут безразмерными и их значение не будет зависеть от площади крыла.

Итак, определим объём топлива в зависимости от площади крыла, при этом будем учитывать заданные исходные данные, а также приведённые выше предположения о геометрии кессона и дополнительные требования к методике решения.

Методика решения

Общий принцип расчёта объёма - интегрирование площади сечения кессона вдоль той части размаха крыла, на которой располагается топливо.
Так как самолёт симметричен относительно плоскости XOY, то для упрощения будем искать объём топлива только на одном полукрыле, а полученное значение умножим на 2. Таким образом, нам требуется найти интеграл от площадь сечения кессона по координате z

на интервале от z = 0 до z = l_t / 2

, где

- площадь сечения кессона плоскостью, паралельной XOY и проходящей через точку z, а l_t

- размах части крыла, имеющей топливные баки.

Как указано в описании расчётной схемы, силовой кессон крыла состоит из центроплана и консольных участков, а те, в свою очередь - из трапециевидных фрагментов. Все эти части имеют свои геометрические характеристики, а значит, зависимость площади сечения кессона вдоль оси Z на них может быть различной (функция площадь сечения кессона по координате z

будет кусочно-заданной). Учитывая это, будем проводить интегрирование площадь сечения кессона по координате z

отдельно для каждого фрагмента полукрыла.

Прежде чем приступить непосредственно к расчёту объёмов, найдём выражения для основных параметров, значения которых не заданы, но, очевидно, потребуются. Конкретно здесь имеются в виду следующие шаги предварительных расчётов:

в первую очередь - нахождение значений размаха крыла (), корневой и концевой хорды ( и ), а для крыла с наплывом - также хорды, соответствующей концу наплыва () и размаха наплыва (),
следующим подготовительным шагом будет поиск выражения для значений размаха центроплана ( или ) и размаха части крыла, имеющей топливные баки (),
далее найдём выражение для величины бортовой хорды ,
наконец, для каждого участка полукрыла выразим функцию .

Предварительные расчёты

Найдём выражения для следующих основных параметров: размах крыла (

), корневая и концевая хорды ( b_0

), а для крыла с наплывом - также хорда, соответствующая концу наплыва ( b_н

) и размах части крыла, имеющей наплыв (

).
На рисунке ниже показаны заданные и не заданные основные геометрические характеристики крыла.

основные геометрические хар-ки крыла (вариант без наплыва)

основные геометрические хар-ки крыла (вариант без наплыва)

основные геометрические хар-ки крыла (вариант с наплывом)

Сначала найдём размах крыла

. По определению formula_05

, отсюда следует, что formula_06

. Параметры удлинение крыла

известны, а значит размах крыла

найден. Размах части крыла, имеющей наплыв, тогда можно выразить как formula_30

.
Теперь найдём значения b_0

. Учитывая, что formula 14

, а

, нам нужно будет найти только b_0

, и тогда значения b_н

также станут известны: formula 17

.
Чтобы найти b_0

запишем выражение площади крыла площадь крыла

(которая известна из задания) через размах крыла

(он тоже известен) и величину b_0

.
Для крыла без наплыва каждое полукрыло представляет собой трапецию с основаниями b_0

и высотой, равной половине размаха полуразмах крыла

. Известно, что площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.

Таким образом, площадь одного полукрыла площадь полукрыла

будет равна
площадь полукрыла

а площадь всего крыла
площадь всего крыла (вариант без наплыва)

отсюда следует, что для трапециевидного крыла без наплыва
корневая хорда крыла (вариант без наплыва)

Для крыла с наплывом каждое полукрыло состоит из двух трапеций: одна с основаниями b_0

и высотой, равной половине размаха наплывной части полуразмах части крыла, имеющей наплыв

, вторая с основаниями b_н

и высотой, равной половине размаха наплывной части полуразмах части крыла, неимеющей наплыв

. Соответственно, площадь полукрыла будет равна
площадь полукрыла для варианта с наплывом

а площадь всего крыла
площадь всего крыла (вариант с наплывом)

отсюда следует, что для трапециевидного крыла с наплывом
корневая хорда крыла (вариант с наплывом)

Теперь найдём выражения для значений размаха центроплана ( l_cp

или

) и размаха части крыла, имеющей топливные баки ( l_t

- размах центроплана совпадает с l_1

- расстоянием между бортовыми нервюрами (по крайней мере, в нашей расчётой схеме). Условно можно считать, что они равны диаметру фюзеляжа D_f

. Ни одно из этих значений нам не задано и они не выводятся из известных параметров, а значит, необходимо выбрать их самостоятельно. Так как мы условились вводить новые значения только в форме безразмерных коэффициентов, то представим l_cp

как часть размаха крыла

,
где:

- задаваемое нами отношение ширины центроплана к полному размаху крыла.
Величину K_cp

мы будем выбирать ориентируясь на реально существующие самолёты.
Значения этого коэффициента могут заметно отличаться для разных типов ЛА даже при сходных геометрических характеристиках крыла (например, у транспортного самолёта диаметр фюзеляжа обычно больше чем у бомбардировщика с аналогичным крылом). Поэтому, при расчёте мы будем выбирать значение K_cp

, характерное именно для самолётов, близких по конструкции и назначению.
l_t

- размах той части крыла, на которой есть топливные баки. Эта величина нам также неизвестна и её мы также зададим через коэффициент отношения к полному размаху крыла

,
где:

- коэффициент, показывающий, какую часть полного размаха крыла занимают топливные баки.
Значение K_t

выбираем при расчёте ориентируясь на ЛА сходной конструкции и имеющие близкую геометрию крыла. При этом, учитывая, что для крыла с наплывом топливные баки занимают часть размаха большую чем размах участков, имеющих наплыв, K_t

должен быть больше чем K_n

.

Далее, найдём выражение для величины бортовой хорды b_1

Как видно из рисунка, b_1

это хорда крыла, располагающаяся на расстоянии l_1 / 2

от оси симметрии. Геометрия крыльев, оговоренная в задании, такова, что хорда b_1

находится на участке крыла, имеющего форму трапеции с основаниями b_0

в варианте без наплыва или b_0

в варианте с наплывом. Высота трапеции будет равна l / 2

(вариант без наплыва) или l_n / 2

(вариант с наплывом).
Для дальнейших расчётов полезно найти не только само значение b_1

, но и вообще зависимость хорды от размаха на произвольном трапециевидном фрагменте крыла.
Рассмотрим произвольный i-ый фрагмент и определим для него зависимость местной хорды крыла от координаты z. На рисунке ниже изображена схема для расчёта.

к нахождению выражения b(z)

Длина местной хорды b(z)

будет равна расстоянию между передней и задней кромками, то есть, разности функций Xпк(Z)

,
где

- функция, описывающая положение передней кромки крыла на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$
Xзк(Z)

- функция, описывающая положение задней кромки крыла на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$

Передняя кромка - прямая и описывается функцией
Xпк(Z) - выражение

Задняя кромка - также прямая и описывается функцией

Xзк(Z) - выражение

Отсюда следует, что длина местной хорды b(z)

на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$ будет равна
b(z) - выражение

Как видно из этого выражения, местная хорда зависит только от величин хорд b_i

и $b_{i+1}$ и расстояния между ними $Z_{i+1} - Z_i$ . Координаты X_A

(и выражаемые через них X_C

) не входят в b(z)

, то есть, имеют значение только расстояния между точками A, B, C и D, а не их абсолютные координаты на плоскости XZ (что, в общем-то, очевидно). Отметим также, что в выражении b(z)

присутствуют разность координат по оси X между A и B (это b_i

) и между C и D (это $b_{i+1}$ ), а расстояние по X между точками A и C, как и равное ему расстояние между B и D, - отсутствуют. А так как именно разность X_A

определяет стреловидность фрагмента крыла при его фиксированном размахе выражение для угла стреловидности фрагмента крыла

, то получается, что длина местной хорды b(z)

не зависит от угла стреловидности.

Итак, мы нашли зависимость хорды трапециевидного фрагмента от координаты z.. Теперь подставив вместо b_i

и $b_{i+1}$ значения b_0

, а вместо $Z_{i+1} - Z_i$ и Z - Z_i

значения

мы получим величину b_1

для крыла без наплыва.

выражение длины бортовой хорды крыла без наплыва

Аналогично, для крыла с наплывом:
выражение длины бортовой хорды крыла с наплывом

Теперь выразим функцию площадь сечения кессона по координате z

. Для этого сначала рассмотрим зависимость площадь сечения крыла по координате z

- площади сечения всего крыла (не только кессона) от z.
Сечение крыла это геометрическая фигура, имеющая вид выбранного профиля крыла, вписанного в прямоугольник с высотой c(z) и шириной b(z),
где
c(z) - местная толщина крыла
b(z) - местная хорда крыла
Контур профиля можно разделить на две кривые y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, образующие верхнюю и нижнюю границы. y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

соединяются в самой передней точке профиля A (на его носке) и в самой задней точке B (см. рисунок).

профиль сечения крыла

Площадь сечения может быть найдена как разность интегралов этих функций (или как интеграл от их разности) вдоль оси X от точки передняя точка сечения крыла

до

Функции

обычно в виде таблицы для профиля с длиной хорды b = 1 и помещённого носком в начало координат. В этом случае выражение для площади такого табличного сечения S_tabl - площадь профиля крыла задаваемая в таблице

имеет вид

Так как конкретный профиль крыла нам не задан, мы выбираем его произвольно, а для упрощения расчётов при нахождении площади сечения вместо прямого задания y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, представим S_tabl - площадь профиля крыла задаваемая в таблице

как часть площади описанного прямоугольника:

нахождение площади сечения крыла

,
где:

- коэффициент, показывающий, какую часть занимает площадь профиля крыла от площади описанного прямоугольника (со сторонами b=1 и C = C_otn_tabl * b

), величину этого коэффициента мы задаём эмпирически,
C_otn_tabl

- относительная толщина профиля, для которого заданы табличные значения y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

.

Реальные сечения крыла будут отличаться от приводимого в таблице профилей тем, что они будут смещены от начала координат по вертикали и по горизонтали, а также растянуты (сжаты) вдоль оси X до величины местной хорды b(z) и вдоль оси Y до величины местной толщины крыла C(z).

смещение по X

Рассмотрим как будет меняться площадь сечения при этих преобразованиях. Простой здравый смысл и школьная геометрия подсказывают, что при перемещениях фигуры в плоскости её площадь не меняется, а при растяжении вдоль одной оси - меняется пропорционально величине растяжения. Но мы рассмотрим данные преобразования более подробно, с привлечением свойств интегралов, в первую очередь именно для того, чтобы потренироваться в использовании этих свойств.
Перемещение по оси X:
Профиль, сдвинутый по оси X, описывается линиями y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, которые могут быть выражены как:
y_верхн сдв X

,
где:

- смещение носка профиля по X от начала координат

Площадь такого сдвинутого профиля будет равна
нахождение площади сечения крыла, сдвинутого по оси X

применим следующее свойства интеграла:
если свойство интеграла

, то

тогда площадь сдвинутого профиля можно представить в виде
S_sdvX

нахождение площади сечения крыла, сдвинутого по оси X

Перемещение по оси Y:
Профиль, сдвинутый по оси Y, описывается линиями y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, которые могут быть выражены как:
y_верхн сдв Y

,
где:

- смещение носка профиля по Y от начала координат

Площадь такого сдвинутого профиля будет равна
нахождение площади сечения крыла, сдвинутого по оси Y

применим следующее свойства интеграла:
свойство интеграла

,
тогда площадь сдвинутого профиля можно представить в виде
S_sdvY

Таким образом, мы убедились, что площадь профиля (в данном случае - S_tabl - площадь профиля крыла задаваемая в таблице

) не изменяется при любых перемещениях его в плоскости XY. Соответственно, как бы ни был профиль сдвинут по вертикали или горизонтали, его площадь можно рассчитывать так же, как если бы он находился в исходном положении - носком в начале координат.

Растяжение/сжатие вдоль оси X:
Профиль, растянутый вдоль оси X до величины хорды b(z) (далее обозначается просто b), описывается линиями y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, которые могут быть выражены как:
y_верхн раст X

,
где:

- коэффициент растяжения профиля по оси X. Этот коэффициент равен K_x

Площадь такого растянутого/сжатого профиля будет равна
нахождение площади сечения крыла, растянутого по оси X

применим следующее свойства интеграла:
если свойство интеграла

, то

тогда площадь сдвинутого профиля можно представить в виде
S_rastX

нахождение площади сечения крыла, растянутого по оси X

Растяжение/сжатие вдоль оси Y:
Профиль, растянутый вдоль оси Y до величины хорды C(z) (далее обозначается просто C), описывается линиями y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, которые могут быть выражены как:
y_верхн раст Y

,
где:

- коэффициент растяжения профиля по оси Y. Этот коэффициент равен K_y

Площадь такого растянутого/сжатого профиля будет равна
нахождение площади сечения крыла, растянутого по оси Y

применим следующее свойства интеграла:
если свойство интеграла

, то

тогда площадь сдвинутого профиля можно представить в виде
S_rastY

нахождение площади сечения крыла, растянутого по оси Y

Мы убедились, что при перемещениях профиля в плоскости XY его площадь не меняется, а при растяжении/сжатии - меняется пропорционально степени растяжения вдоль каждой из осей:
S_sdvX

,

Итак, площадь произвольного сечения крыла, имеющего постоянный профиль, можно выразить формулой:

Учитывая, что

S_ТАБЛ

, а

,

можно записать

То есть, площадь произвольного сечения крыла постоянного профиля будет всегда составлять одну и ту же часть от площади прямоугольника со сторонами b(z) и C(z) (местная хорда и местная толщина крыла), в который вписан профиль.
Например, площадь сечения крыла по бортовой нервюре будет равна:
Площадь произвольного сечения крыла по бортовой нервюре

Выражение для Площадь произвольного сечения крыла постоянного профиля

найдено, приступим к определению зависимости от z площади сечения кессоной части крыла площадь сечения кессона по координате z

.
На рисунке ниже кессонная часть сечения крыла отмечена штриховкой. К ней относится участок между передним и задним лонжеронами.

Площадь сечения крыла и его кессонной части

Площадь сечения крыла и его кессонной части

Площадь сечения кессонной части находится так же, как и площадь сечения всего крыла - это разность интегралов y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, но пределами интегрирования будут не координаты носка и конца профиля, а координаты линий переднего и заднего лонжеронов.

, где

- площадь сечения кессонной части крыла по координате z,

- расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении по координате z,

- расстояние от носка до заднего лонжерона в сечении по координате z,
y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

- верхняя и нижняя линии сечения крыла по координате z
Также можно представить площадь сечения кессона в виде:

Площадь сечения кессонной части крыла

, где

- коэффициент, указывающий, какую долю от площади данного сечения крыла Площадь произвольного сечения крыла постоянного профиля

составляет площадь кессонной части.
Так как эта доля, возможно, различна в разных сечениях, правильно будет записать:

Площадь сечения кессонной части крыла

Для начала рассмотрим сечение по бортовой нервюре.

Площадь сечения кессонной части крыла по бортовой нервюре

, где

- координата z сечения крыла по бортовой нервюре
Подобно тому, как мы самостоятельно определили эмпирическое значение K_tabl

, здесь можно задать значение для K_kes_z_1

, ориентируясь на примеры реально существующих ЛА. Обозначим это число как K_kes_1

- доля, которую составляет кессонная часть от общей площади сечения крыла по бортовой нервюре.
Таким образом, нами найдена площадь сечения кессона крыла в районе бортовой нервюры.

Площадь сечения кессонной части крыла по бортовой нервюре

Теперь рассмотрим центроплан крыла.
Из описания расчётной схемы известно, что центроплан имеет по всему своему размаху постоянное сечение и оно совпадает с сечением кессона крыла по бортовой нервюре.
То есть, на участке центроплана Диапазон координаты z центроплана

площадь сечения кессона равна:

Площадь сечения центроплана

Нам осталось найти только выражение для площадь сечения кессона по координате z

на трапециевидных фрагментах крыла.
Рассмотрим на трапециевидном участке крыла сечение по некой произвольной координате z = z_i

. Обозначим его как i-е сечение. После переноса его носком профиля в начало координат (ранее было доказано, что площадь при этом не меняется), площадь кессонной части определяется выражением:

Площадь сечения кессона на трапециевидном участке

Площадь сечения кессона на трапециевидном участке

, где

или

- площадь сечения кессонной части крыла по координате z = z_i

- расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении по координате z = z_i

- расстояние от носка до заднего лонжерона в сечении по координате z = z_i

- верхняя и нижняя линии сечения крыла по координате z = z_i

Так как профиль крыла у нас постоянный (с разной хордой и высотой), функции y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

можно выразить через линии сечения крыла по бортовой нервюре:

y_верхн - линия верхней поверхности сечения крыла

, где

- коэффициент масштабирования по хорде (оси X) i-го сечения по сравнению с сечением по бортовой непвюре
отношение толщин профиля i-го сечения и сеченния по бортовой непвюре

- коэффициент масштабирования по толщине (оси Y) i-го сечения по сравнению с сечением по бортовой непвюре

Тогда площадь i-го сечения кессона будет равна:
Площадь сечения кессона на трапециевидном участке

Теперь выясним, чему в этом выражении равны расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении z_i

- расстояния от носка до, соответственно, переднего и заднего лонжеронов.
Эти расстояния находятся как разность между значениями в точке z = z_i

функций, описывающих линию передней кромки линия передней кромки крыла

и линию лонжерона. Запишем эти функции и выразим их разность. Кроме того, запишем функцию линии задней кромки линия задней кромки крыла

, с её помощью найдём выражение для хорды крыла длина хорды крыла

(длина хорды равна разнице координат передней и задней кромок) и постараемся выразить расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении z_i

через длину хорды.
Так как на каждом трапециевидном фрагменте линии кромок и лонжеронов выражаются своими функциями, рассмотрим их отдельно для каждого из трёх случаев:

крыло без наплыва,
крыло с наплывом, участок имеющий наплыв,
крыло с наплывом, участок не имеющий наплыва

Крыло без наплыва:

На рисунке ниже изображена схема для расчёта.
схема для расчёта расстояний от передней кромки до лонжеронов

Линия передней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия передней кромки крыла

Аналогично, линия задней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия задней кромки крыла

Длина хорды длина хорды крыла

выражается как разность линия передней кромки крыла

Теперь запишем выражение для линии переднего лонжерона. При этом учтём, что для всех хорд, ограничивающих фрагменты консолей, в данном случае - для длина бортовой хорды

, расстояние от передней кромки до переднего лонжерона равно длина бортовой хорды

(см. описание расчётной схемы):
функция линии переднего лонжерона

Тогда расстояние от передней кромки до переднего лонжерона в произвольном сечении фрагмента будет равно:

Аналогично можно показать, что и для заднего лонжерона расстояние до передней кромки в произвольном сечении выражается подобным образом:
расстояние от задней кромки до переднего лонжерона

Крыло с наплывом, участок имеющий наплыв:

На рисунке ниже изображена схема для расчёта.
схема для расчёта расстояний от передней кромки до лонжеронов

Линия передней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия передней кромки крыла

Аналогично, линия задней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия задней кромки крыла

Длина хорды длина хорды крыла

выражается как разность линия передней кромки крыла

, расстояние от передней кромки до переднего лонжерона равно длина бортовой хорды

(см. описание расчётной схемы):
функция линии переднего лонжерона

Тогда расстояние от передней кромки до переднего лонжерона в произвольном сечении фрагмента будет равно:

Крыло с наплывом, участок не имеющий наплыва:

На рисунке ниже изображена схема для расчёта.
схема для расчёта расстояний от передней кромки до лонжеронов

Линия передней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия передней кромки крыла

Аналогично, линия задней кромки - прямая, описываемая функцией:
линия задней кромки крыла

Длина хорды длина хорды крыла

выражается как разность линия передней кромки крыла

Теперь запишем выражение для линии переднего лонжерона. При этом учтём, что для всех хорд, ограничивающих фрагменты консолей, в данном случае - для длина хорды в районе окончания наплыва

, расстояние от передней кромки до переднего лонжерона равно длина хорды в районе окончания наплыва

(см. описание расчётной схемы):
функция линии переднего лонжерона

Тогда расстояние от передней кромки до переднего лонжерона в произвольном сечении фрагмента будет равно:

Итак, мы видим, что для принятой расчётной схемы, как в варианте с наплывом, так и без наплыва, в любом сечении трапециевидного фрагмента крыла, расстояния расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении z_i

выражаются через хорду крыла:

расстояние от носка до переднего лонжерона в сечении z_i

то есть, не только на границах (что определяется расчётной схемою), но и на всём протяжении трапециевидных фрагментов, лонжероны делят хорду крыла на части в пропорции, задаваемой постоянными величинами Kx_pl

.

Вернёмся к вычислению площадь сечения кессонной части крыла

, она же

Ранее было найдено выражение для площадь сечения кессонной части крыла

, где

Как мы выяснили, в любом сечении z = z_i

трапециевидного фрагмента нашего крыла справедливо

deltaX_pl_i

С учётом этого, выражение для

будет иметь вид:

выражение для площади сечения кессонной части крыла

Итак, на трапециевидных фрагментах крыла площадь сечения кессонной части будет равна:

выражение для площади сечения кессонной части крыла

- выбираемые нами константы, их произведение можно заменить на один коэффициент, обозначим его отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла

. Величина отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла

- это часть, которую составляет площадь кессонной части крыла от площади прямоугольника со сторонами K_kes_1

, в который вписано сечение крыла. Как показано выше, величина отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла

одна и та же для всех сечений, то есть, она не зависит от координаты z, по которой проходит сечение (в пределах расстояние от оси самолёта до бортовой нервюры (полуразмах центроплана)

).
b(z) выражается как описано выше:
для крыла без наплыва
b(z) длина хорды крыла

,
для крыла с наплывом на участке наплыва
b(z) длина хорды крыла

для крыла с наплывом на участке без наплыва
b(z) длина хорды крыла

- толщина крыла, выражается через хорду зависимость хорды крыла от z

и относительную толщину относительная толщина профиля крыла

Выражение для зависимость хорды крыла от z

уже было детально описано выше, а относительная толщина профиля крыла

определяется исходя из задания: относительная толщина меняется линейно от относительная толщина профиля у корня крыла

у корня до относительная толщина профиля на конце крыла

на конце, то есть:
относительная толщина профиля крыла

Таким образом, мы нашли выражение для площадь сечения кессона по координате z

, на этом можно считать завершённым этап предварительных расчётов и приступать непосредственно к расчёту объёмов топливных баков.

Основной расчёт

Вариант 1 - трапециевидное крыло без наплыва:

Итак, рассчитаем объём топлива в крыле

. Он равен объёму части кессона, отведённой под баки, умноженной на коэффициент заполнения

берём равным 0.85 для гражданских самолётов и 0.75 для военных. У военных значение меньше так как оно учитывает, что в баках находится пенополиуретановый заполнитель, препятствующий взрыву при прострелах.
Объём баковой части кессона состоит из объёма центроплана объём центроплана

и объёмов топливной части кессона консолей левого и правого полукрыльев объём топливной части кессона консоли левого полукрыла

. Так как самолёт у нас симметричен относительно плоскости XOY, то объёмы топливной части кессона консолей обеих полукрыльев будут одинаковы. Обозначим объём баковой части кессона консоли одного полукрыла как объём топливной части кессона консоли одного полукрыла

. Тогда объём топлива объём топлива в крыле

будет равен сумме объёма центроплана объём центроплана

и двух объёмов объём топливной части кессона консоли одного полукрыла

, умноженной на коэффициент заполнения

. Учитывая, что центроплан также симметричен относительно XOY, можно представить это выражение как коэффициент заполнения

, умноженное на удвоенную сумму половины объёма центроплана объём половины центроплана

и объёма

Теперь отдельно проведём расчёт для входящих в это выражение объёмов частей кессона полукрыла:

- объёма половины центроплана и
- объёма топливной части кессона консоли одного полукрыла.

Первым рассмотрим центроплан. Так как его сечение постоянно вдоль оси z, то центроплан является цилиндрическим телом. Это значит, что его объём можно вычислить как объём цилиндра, по готовой формуле, не прибегая непосредственно к интегрированию.
Формула для нахождения объёма цилиндра:

,

где

- объём цилиндра

- площадь основания цилиндра

- высота цилиндра

Для половины центроплана площадью основания площадь основания цилиндра

будет являться площадь сечения центроплана, она же площадь сечения кессона крыла по бортовой нервюре площадь сечения кессона по бортовой нервюре

, а высотою высота цилиндра

- половина размаха центроплана высота цилиндра

. Тогда объём половины центроплана будет равен:

Для всех встречающихся здесь величин - площадь сечения кессона по бортовой нервюре

ранее уже были найдены выражения:

Сечение кессона (сечение крыла по бортовой нервюре)

с учётом этого, объём половины центроплана будет:

Продолжим подставлять в формулу выражения для входящих в неё величин пока не останутся только значения, которые задаются в условии либо выбираются эмпирически.
В полученном выше выражении величин, значения отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла

выбираются нами эмпирически, а остальные - хорда сечения по бортовой нервюре

и l выразим через другие величины:

Толщина профиля бортовой нервюры (высота сечения центроплана)

где

заданы в условии, а корневая хорда крыла

выражаются через них и через сужение крыла

, которая тоже задана в условии:

Корневая хорда крыла (вариант без наплыва)

Итак, выражение для объёма половины центропланной части крыла без наплыва найдено.
Теперь найдём объём кессона консольной части полукрыла. Он будет равен интегралу от площади сечения кессона вдоль размаха. Начальной границей интегрирования будет координата начала консольной части расстояние от оси самолёта до бортовой нервюры (полуразмах центроплана)

, а конечной границей - координата окончания топливного бака расстояние от оси самолёта до окончания топливного бака

Объём кессона консольной части полукрыла

,

здесь

Размах части крыла, на которой размещены топливные баки

,
а

- выбираемые нами параметры. Для функций b(z) и C(z) выражения были найдены ранее:

хорда консольной части трапециевидного крыла без наплыва

,

в свою очередь,

Относительная толщина профиля (высота сечения) консольной части крыла без наплыва

- параметры, заданные в условии.
Подставив эти выражения в формулу для объёма кессона консольной части полукрыла, получим:

Объём кессона консольной части полукрыла

после раскрытия скобок:

Объём кессона консольной части полукрыла

чтобы упростить выражение, введём обозначения для констант:

обозначения констант для подстановки

в результате подстановки получим:

Объём кессона консольной части полукрыла

продолжим преобразования:

Объём кессона консольной части полукрыла

после "взятия" интеграла получится выражение:
Объём кессона консольной части полукрыла

сгруппировав члены по степеням z, получим:
Объём кессона консольной части полукрыла

наконец, после подстановки пределов, окончательно получим выражение для объёма кессона консольной части крыла, не имеющего наплыва:

Объём кессона консольной части полукрыла

Вариант 2 - трапециевидное крыло с наплывом:

Как и в варианте 1, объём топлива в крыле с наплывом может быть представлен как коэффициент заполнения

, умноженное на удвоенную сумму половины объёма центроплана объём половины центроплана

и объёма

. Но для проведения удобства проведения расчёта, консоль крыла мы разделим на часть имеющую наплыв и часть вне наплыва. Соответственно, объём топливной части кессона консоли

будет состоять из объёма на участке наплыва объём топливной части кессона полукрыла на участке наплыва

и объёма на участке, не имеющем наплыва объём топливной части кессона полукрыла вне участка наплыва

Теперь отдельно проведём расчёт для входящих в это выражение объёмов частей кессона полукрыла:

- объёма половины центроплана,
- объёма топливной части кессона полукрыла на участке наплыва и
- топливной части кессона полукрыла вне участка наплыва.

,

где

- объём цилиндра

- площадь основания цилиндра

- высота цилиндра

Для половины центроплана площадью основания площадь основания цилиндра

, а высотою высота цилиндра

- половина размаха центроплана высота цилиндра

. Тогда объём половины центроплана будет равен:

Для всех встречающихся здесь величин - площадь сечения кессона по бортовой нервюре

ранее уже были найдены выражения:

Сечение кессона (сечение крыла по бортовой нервюре)

с учётом этого, объём половины центроплана будет:

выбираются нами эмпирически, а остальные - хорда сечения по бортовой нервюре

и l выразим через другие величины:

Толщина профиля бортовой нервюры (высота сечения центроплана)

где

заданы в условии, а корневая хорда крыла

выражаются через них и через сужение крыла

, которые тоже заданы в условии:

Корневая хорда крыла (вариант без наплыва)

Итак, выражение для объёма половины центропланной части крыла с наплывом найдено.
Теперь найдём объём кессона консольной части на участке наплыва. Он будет равен интегралу от площади сечения кессона вдоль размаха. Начальной границей интегрирования будет координата начала консольной части расстояние от оси самолёта до бортовой нервюры (полуразмах центроплана)

. Так как топливные баки располагаются на протяжении всего размаха участка наплыва, то конечной границей будет являться координата окончания участка расстояние от оси самолёта до окончания наплыва

Объём кессона консольной части на участке наплыва

,

здесь

Размах части крыла, имеющей наплыв

- выбираемый нами параметр, а отношение размаха части крыла с наплывом к общему размаху крыла

- задан в условии. Для функций b(z) и C(z) выражения были найдены ранее:

хорда консольной части трапециевидного крыла на участке наплыва

,

в свою очередь,

Относительная толщина профиля (высота сечения) консольной части крыла без наплыва

- параметры, заданные в условии.
Подставив эти выражения в формулу для объёма кессона консольной части полукрыла, получим:

Объём кессона консольной части на участке наплыва

после раскрытия скобок:

Объём кессона консольной части на участке наплыва

чтобы упростить выражение, введём обозначения для констант:

обозначения констант для подстановки

в результате подстановки получим:

Объём кессона консольной части на участке наплыва

продолжим преобразования:

Объём кессона консольной части на участке наплыва

после "взятия" интеграла получится выражение:
Объём кессона консольной части на участке наплыва

сгруппировав члены по степеням z, получим:
Объём кессона консольной части на участке наплыва

наконец, после подстановки пределов, окончательно получим выражение для объёма кессона консольной части крыла, не имеющего наплыва:

Остаётся найти объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва. Он будет также будет равен интегралу от площади сечения кессона вдоль размаха, но границы интегрирования будут теперь другими. Начальной границей будет координата начала окончания части, имеющей наплыв расстояние от оси самолёта до окончания наплыва

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

,

здесь

Размах части крыла, имеющей наплыв

- выбираемые нами параметры, а отношение размаха части крыла с наплывом к общему размаху крыла

- задан в условии. Для функций b(z) и C(z) выражения были найдены ранее:

хорда консольной части трапециевидного крыла на участке, не имеющем наплыва

,

в свою очередь,

Относительная толщина профиля (высота сечения) консольной части крыла без наплыва

- параметры, заданные в условии.
Подставив эти выражения в формулу для объёма кессона консольной части полукрыла, получим:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

после раскрытия скобок:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

если продолжать преобразования так же, как мы делали до этого, то, и без того громоздкое выражение, сильно разрастётся из-за того, что здесь у нас присутствуют не только (z - l_1/2)

, но и

. Произведение этих сомножителей не является простым увеличением степени. Чтобы дальнейшие преобразования были аналогичны тем, что проводились для других участков крыла, представим зависимость относительной толщины крыла от размаха

в виде функции, включающей (z - l_Н/2)

вместо

зависимость относительной толщины крыла от размаха

тогда выражение будет выглядеть таким образом:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

чтобы упростить выражение, введём обозначения для констант:

обозначения констант для подстановки

в результате подстановки получим:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

продолжим преобразования:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

после "взятия" интеграла получится выражение:
Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

сгруппировав члены по степеням z, получим:
Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

наконец, после подстановки пределов, окончательно получим выражение для объёма кессона консольной части крыла, не имеющего наплыва:

Объём кессона консольной части на участке, не имеющем наплыва

Все необходимые зависимости выражены аналитически. Теперь для непосредственного проведения вычислений остаётся эмпирически определить значения параметров отношение размаха центроплана к размаху всего крыла

(значение для ещё одного параметра коэффициент заполнения объёма кессона топливом

мы уже условились установить на величине 0.75 для военных самолётов и 0.85 для гражданских). Значения параметров будем выбирать ориентируясь на самолёты-аналоги. Данные по самолётам-аналогам определяются по имеющимся в открытом доступе описаниям, таблицам и, особенно, чертежам. Источников, позволяющих найти значения часть размаха крыла, занимаемая топливом

относительно мало, соответственно, при их вычислении выборка по самолётам-аналогам будет значительно меньше, чем при определении отношение размаха центроплана к размаху всего крыла

.
Будем выбирать аналоги среди тех категорий ЛА, для которых заданные в условии параметры крыла являются типичными. Сюда можно отнести следующие группы:

реактивные околозвуковые бомбарировщики
реактивные пассажирские лайнеры
транспортные реактивные самолёты
реактивные самолёты бизнес-авиации

Крылья подобной геометрии встречаются также и на других машинах, относительно более лёгких - истребителях, штурмовиках, учебных самолётах, однако, их мы не будем рассматривать в качестве аналогов. Конструкция крыла этих самолётов имеет особенности, обусловленные их назначением.
Во-первых, данные ЛА рассчитаны на значительные перегрузки, а, значит, силовые элементы, скорее всего, будут занимать у них относительно больший объём крыла.
Во-вторых, конструкторы этих самолётов могут сильно сократить крылевые топливные баки или вообще отказаться от размещения топлива в крыле, потому что большая площадь поверхности баков увеличивает вероятность их поражения огнём противника.
В-третьих, на размещение топлива в крыле может влиять желание уменьшить момент инерции относительно продольной оси, чтобы улучшить характеристики маневренности в поперечной плоскости.
Наконец, крылья небольшого размера вообще меньше подходят для размещения топлива, из-за того, что обшивка и силовые элементы занимают в них относительно больше пространства.
Учитывая это, а так же то, что истребители, штурмовики и учебные самолёты редко имеют крылья с параметрами близкими к заданным (даже при соответствии других характеристик, относительная толщина крыла у них обычно меньше чем в условии), исключим эти классы ЛА из состава аналогов.
Параметр

- отношение размаха центроплана к размаху всего крыла:
Ширина центроплана зачастую определяется диаметром фюзеляжа самолёта. А так как отношение диаметра фюзеляжа к размаху может значительно отличаться у самолётов разного назначения, то и типичные значения отношение размаха центроплана к размаху всего крыла

, скорее всего, будут свои для каждого класса ЛА.Учитывая это, найдём величины коэффициента отдельно для каждой группы самолётов-аналогов. Кроме того, в группе реактивных пассажирских лайнеров выделим для нахождения отношение размаха центроплана к размаху всего крыла

две подгруппы - узко- и широкофюзеляжных самолётов.
Ниже приведены таблицы со значениями параметров крыла самолётов-аналогов по группам.

	Стреловидность по передней кромке (град.)		Относительная толщина сечения крыла (%)		Удлинение крыла	Сужение крыла		Отношение размаха центроплана к размаху крыла
	осн. части	наплыва	макс.	мин.	Удлинение крыла	Общее	Части с налывом	Отношение размаха центроплана к размаху крыла
	χ	χн	Ĉ max	Ĉ min	λ	η	ηн	Kцп
Параметры, заданные в условии
вариант 1 (без наплыва)	32,0	-	15,0	10,0	8,5	4,0	-	-
вариант 2 (с наплывом)	32,0	37,0	15,0	10,0	8,5	4,0	1,7	-
Административные самолёты
Dassault Falcon 200	32,4	-	н.д.	н.д.	6,4	3,0	-	0,128
Dassault Falcon 20E	33,1	-	10,0	8,0	6,4	2,8	-	0,129
Dassault Falcon 50	26,9	35,2	н.д.	н.д.	7,5	4,0	1,9	0,110
Challenger 605	27,4	35,8	14,0	10,0	7,0	3,6	2,0	0,142
Gulfstream G650	37,7	42,0	н.д.	н.д.	7,1	5,6	1,5	0,097
Пассажирские самолёты, узкофюзеляжные
McDonnel Douglas MD-82	28,4	-	н.д.	н.д.	8,6	5,9	-	0,104
Dassault Mercury 100	27,8	35,5	н.д.	н.д.	7,3	3,6	1,7	0,128
Ту-154М	36,9	39,9	н.д.	н.д.	7,0	5,2	2,1	0,103
Ил-62М	38,2	-	н.д.	н.д.	6,6	4,6	-	0,096
Boeing 737-300	28,7	37,3	н.д.	н.д.	7,8	5,2	1,8	0,131
Boeing 737-700	25,3	40,0	н.д.	н.д.	8,6	6,0	1,6	0,111
Airbus A320	27,3	-	н.д.	н.д.	9,1	4,8	-	0,118
Boeing 757-200	28,0	-	н.д.	н.д.	7,3	4,5	-	0,099
Ту-204	30,7	-	н.д.	н.д.	8,6	4,3	-	0,095
Ан-148-100	27,6	-	н.д.	н.д.	9,5	4,0	-	0,111
Пассажирские самолёты, широкофюзеляжные
McDonnel Douglas DC-10	38,1	-	н.д.	н.д.	6,8	4,8	-	0,120
Boeing 747-100	42,2	-	н.д.	н.д.	6,2	4,0	-	0,108
Airbus A330-200	31,5	-	н.д.	н.д.	9,5	4,8	-	0,098
Airbus A340-500	31,9	-	н.д.	н.д.	9,4	4,7	-	0,091
Boeing 767-200	33,4	-	н.д.	н.д.	6,7	4,6	-	0,118
Boeing 777-200ER	33,7	-	н.д.	н.д.	7,8	7,3	-	0,103
Boeing 787-800	35,3	-	н.д.	н.д.	8,0	6,6	-	0,104
Lockheed L-1011-500	37,9	-	н.д.	н.д.	7,0	5,5	-	0,126
McDonnel Douglas MD-11	39,0	-	н.д.	н.д.	6,4	4,1	-	0,119
Ильюшин Ил-96-300	32,3	-	н.д.	н.д.	8,5	4,4	-	0,105
Ильюшин Ил-86	38,1	-	н.д.	н.д.	6,4	4,4	-	0,127
Грузовые самолёты
Антонов Ан-70	16,7	-	н.д.	н.д.	9,3	3,1	-	0,119
Lockheed C-141B	28,2	-	13,0	10,0	7,9	3,1	-	0,080
Lockheed C-5B	27,0	29,7	12,0	11,0	7,7	2,9	1,7	0,081
Ильюшин Ил-76МД	28,2	-	н.д.	н.д.	7,9	3,7	-	0,092
Антонов Ан-124	29,1	32,9	н.д.	н.д.	8,4	4,1	1,6	0,083
McDonnell Douglas C-17A	28,9	-	н.д.	н.д.	7,2	4,0	-	0,125
British Aerospace BAe.146	16,9	-	н.д.	н.д.	10,0	2,9	-	0,114
Антонов Ан-72	17,1	18,9	н.д.	н.д.	9,3	3,8	2,3	0,081
Kawasaki C-1	24,8	29,3	н.д.	н.д.	7,4	3,6	1,6	0,116
Бомбардировщики
Sud Aviation Vautour II	37,5	-	н.д.	н.д.	5,1	2,1	-	0,091
Алексеев Самолёт 150	37,8	-	11,8	11,0	4,8	1,9	-	0,106
Douglas A-3 Skywarrior	38,5	-	?	?	6,8	2,9	-	0,099
Boeing B-47E Stratojet	36,2	-	?	?	9,4	2,4	-	0,079
Ильюшин Ил-30	35,8	-	12,0	12,0	5,8	2,3	-	0,063
Ильюшин Ил-46	37,5	-	н.д.	н.д.	7,1	3,0	-	0,072
Туполев Ту-16	36,8	42,6	15,7	12,0	6,2	2,5	1,6	0,058
Vickers Valiant B.1	25,2	44,4	н.д.	н.д.	5,6	4,1	1,8	0,094
Boeing B-52H	37,8	-	н.д.	н.д.	8,6	2,8	-	0,062
Мясищев 3МД	36,9	40,7	н.д.	н.д.	7,7	4,8	2,0	0,073

Примечание: для самолётов Туполев Ту-16, Vickers Valiant и Мясищев 3МД в качестве размаха центроплана приведена ширина фюзеляжа в районе стыковки с крылом. Расположенные по бортам фюзеляжа (в корне крыла) двигатели при этом не учитываются. Такой способ измерения позволяет рассматривать указанные самолёты как соответствующие в целом нашей расчётной схеме.

группа ЛА	Значение параметра Kцп (отношение размаха центроплана к размаху крыла)
группа ЛА	среднее по аналогам	выбранное
Административные самолёты	0,1211352319	0,125
Пассажирские самолёты, узкофюзеляжные	0,1094797105	0,11
Пассажирские самолёты, широкофюзеляжные	0,1108253241	0,111
Грузовые самолёты	0,0990795364	0,099
Бомбардировщики	0,0797639302	0,08

Параметр

- отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла:
Логично предположить, что отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C зависит как от расположения границ кессона (передней и задней стенок), так и от профиля крыла. Поэтому при выполнении замеров и расчётов стоило бы разделить аналоги по типам профилей. Так в работе [1] профили рассматриваемых околозвуковых самолётов делятся на следующие категории:

"обычные" (например, серия профилей NACA 64...),
профили с пиком разрежения (peaky airfoils),
"старые" суперкритические профили,
"новые" суперкритические профили

Вероятно, в дополнение к указанным, в настоящий момент разработано уже новое поколение околозвуковых профилей.
Однако, к сожалению, информация позволяющая вычислить отношение площади сечения кессона к площади прямоугольника b x C, в который вписано сечение крыла

по конкретным самолётам, встречается в открытом доступе довольно редко. Поэтому мы будем вынуждены ограничиться одним общим результирующим значением коэффициента, взятым как среднее по всем самолётам, для которых удалось найти информацию.

Mach number, relative thickness, sweep and lift coefficient of the wing - An empirical investigation of parameters and equations. Author: Simona Ciornei. Hochschule fur Angewandte Wissenshaften Hamburg. Hamburg University of Applied Sciences
http://www.fzt.haw-hamburg.de/pers/Scholz/arbeiten/TextCiornei.pdf

----------------------------------------------------------------------
RESERVED
----------------------------------------------------------------------
Зная указанные параметры, мы можем задав требуемую площадь крыла найти размах
крыла l, полуразмах l/2, корневую и концевую хорду b0 и bk, хорду крыла в конце
наплыва bn. Формулы для расчёта этих параметров приводятся в отдельном документе.

Центроплан используется
полностью, а консоли только на части размаха (см. рисунок 1).
Крыло состоит из двух трапециевидных частей (консоли) и центральной прямоугольной части (центроплана).

Топливо в крыле размещается в баках, представляющих собой герметизированный внутренний объём силового кессона центроплана и консолей.
Топливо размещено внутри герметизированного силового кессона. Для центроплана это весь его внутренний объём.В консолях топливные баки занимают не весь кессон: начинаясь от бортовой нервюры, они доходят только до определённой части размаха крыла. Дальше до концевой нервюры в кессоне располагаются дренажные баки (неучитываемые в данном случае) и незанятое пространство.

Силовой кессон трапециевидного крыла можно разделить на два участка разной формы:
центроплан и консоли. Центроплан имеет постоянное сечение вдоль оси Z, то есть,
представляет собой цилиндрическую поверхность. Его объём равен площади сечения,
умноженной на ширину. Сечение консолей меняется вдоль оси Z - от борта к концу
крыла уменьшается хорда крыла, а также относительная толщина профиля. Поэтому
расчёт объёма кессона консолей будет несколько сложней.

Рассчитаем объём
-------------------------------------------

Нам заданы площадь крыла S, удлинение %lambda, сужение %eta . По этим данным можно найти другие основные параметры крыла - размах l, корневую и концевую хорды b_0 и b_к:
т.к. %lambda = l^2 / S_кр , то
l = SQRT {%lambda * S_кр}
для трапециевидного крыла
S_кр = (b_0 + b_к) / 2 * l/2 * 2 = (b_0 + b_0/%eta) / 2 * l = b_0 * (1 + 1/%eta) * l/ 2 , отсюда следует
b_0 = 2*S_кр / (1 + 1/%eta)
b_к = b_0 / %eta

Рассмотрим части крыла более подробно.
Центроплан:
В нашей конструкции центроплан будет иметь прямоугольную форму в плане. Слева и справа он ограничен бортовыми нервюрами, а спереди и сзади стенками первого и последнего лонжеронов, которые паралельны друг другу и перпендикулярны оси самолёта. Сечение центроплана постоянно вдоль оси Z и совпадает с сечением силового кессона консолей в районе бортовых нервюр. Таким образом, центроплан представляет собой тело цилиндрической формы, образующие линии которого паралельны оси Z.
Ширина центроплана выбирается исходя из ширины фюзеляжа и составляет определённую часть размаха крыла.
Lцп := L * Kzцп
Координаты центроплана вдоль оси X определяются положением переднего и заднего лонжеронов (стенок) кессона консолей в сечении бортовой нервюры. Длина вдоль оси X будет равна разнице координат Xпл1 и Xзл1. Выразив эти величины через длину бортовой хорды консоли, можно записать:
bц := b1 * (Kxпл1 - Kxзл1),
где bц - длина центроплана вдоль оси X,
Kxпл1 - часть длины бортовой хорды консоли, которую составляет расстояние от её начала до линии переднего лонжерона
Kxзл1 - часть длины бортовой хорды консоли, которую составляет расстояние от её начала до линии заднего лонжерона
Таким образом, проекция центроплана на плоскость XZ будет прямоугольником с вершинами в точках (Xцпп, Zцп), (Xцпз, Zцп), (Xцпп, -Zцп) и (Xцпз, -Zцп), где
Xцпп := (Xп1 - b1 * Kxпл1)
Xцпз := (Xп1 - b1 * Kxзл1)
Zцп := ((L /2) * Kzцп)

Объём кессона центроплана можно найти как объём любого цилиндрического тела - произведением площади основания на высоту. Высота в данном случае - это ширина центроплана, равная Lцп. Площадь основания цилиндра равна площади сечения кессона консоли в районе бортовой нервюры.
Чтобы определить её рассмотрим сечение консоли в данном месте.

рисунок

f1в(X) - функция, описывающая верхнюю границу сечения (местного профиля крыла)
f1н(X) - функция, описывающая верхнюю границу сечения (местного профиля крыла)

рисунок

S1 = S1в - S1н = INT[0,b1] (f1в(X)) dX - INT[0,b1] (f1н(X)) dX = INT[0,b1] (f1в(X)-f1н(X)) dX = INT[0,b1] (c1(X))

c1(X) - местная толщина профиля крыла, c1(X) = f1в(X) - f1н(X)

Площадь сечения кессона будет равна тому же интегралу, но с другими пределами

Sк1 = INT[(b1 * Kxпл1),(b1 * Kxзл1)] (c1(X))

Из приведённой формулы видно, что площадь сечения кессона зависит от профиля крыла (определяющего функцию c1(X)), хорды бортовой нервюры b1 и относительных координат расположения лонжеронов (стенок) Kxпл1 и Kxзл1.

Величина b1 находится из заданной в условии геометрии крыла, его площади и ширины центроплана, все остальные параметры нам неизвестны и их значения необходимо будет выбирать. Учитывая определённую произвольность выбора, можно упростить задачу и представить площадь сечения кессона в виде Sк1 = Sпр1 * Ksk1, где

Sпр1 - площадь прямоугольника, в который вписано

Так как крыло состоит из отдельных фрагмегнтов, отличающихся геометрическими параметрами (см. описание расчётной схемы), то площадь сечения кессона будет кусочно-заданной функцией от Z. Соответственно, будем искать интеграл отдельно для каждого фрагмента полукрыла.

Крыло, согласно описанию расчётной схемы, делится нафрагменты, отличающиеся геометрическими характеристиками. На каждом из них зависимость площади сечения кессона от Z может иметь свой вид, то есть, функция в целом будет кусочно-заданной. Учитывая это, будем проводить интегрирование S_кес (Z) отдельно для каждого фрагмента полукрыла.

Прежде всего найдём значения основных размеров крыла в зависимости от его площади и заданных выше относительных параметров. К этим размерам относятся размах крыла, корневая и концевая хорды. Для крыла с наплывом найдём также хорду, соответствующую концу наплыва.

Определение зависимости местной хорды крыла и длины сечения кессона от координаты Z.

Как указано выше, расчётная схема предполагает, что крыло может быть разделено на трапециевидные фрагменты с прямолинейными передней и задней кромками.
Определим зависимость местной хорды крыла и длины сечения кессона от координаты Z на таком фрагменте. Рассмотрим произвольный i-ый фрагмент. На рисунке ниже изображена схема для расчёта.

к нахождению выражения b(z)

Длина местной хорды b(Z)

будет равна расстоянию между передней и задней кромками, то есть, разности функций Xпк(Z)

,
где

- функция, описывающая положение передней кромки крыла на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$
Xзк(Z)

- функция, описывающая положение задней кромки крыла на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$

Передняя кромка - прямая и описывается функцией
Xпк(Z) - выражение

Задняя кромка - также прямая и описывается функцией

Xзк(Z) - выражение

Отсюда следует, что длина местной хорды b(Z)

на участке от Z_i

до $Z_{i+1}$ будет равна
b(Z) - выражение

Как видно из этого выражения, местная хорда зависит только от величин хорд b_i

и $b_{i+1}$ и расстояния между ними $Z_{i+1} - Z_i$ . Координаты X_A

(и выражаемые через них X_C

) не входят в b(Z)

, то есть, имеют значение только расстояния между точками A, B, C и D, а не их абсолютные координаты на плоскости XZ (что, в общем-то, очевидно). Отметим также, что в выражении b(Z)

присутствуют разность координат по оси X между A и B (это b_i

, то получается, что длина местной хорды b(Z)

не зависит от угла стреловидности.

Прежде чем приступить к дальнейшим расчётам, найдём выражения для основных параметров, значения которых не заданы, но, очевидно, потребуются. Имеются в виду, в первую очередь, размах крыла (

), корневая и концевая хорды ( b_0

), а для крыла с наплывом - также хорда, соответствующая концу наплыва ( b_н

).

Найдём объёмы для размещения топливных баков на одном полукрыле. Отдельно проведём расчёт для центроплана и для консольной части.